. HiSoUR 芸術 文化 美術 歴史
HiSoUR 芸術 文化 美術 歴史
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Two-body_problem_in_general_relativity 重力二体問題や ケプラー問題 と混同しないでください 一般相対性理論の二体問題は、運動との決意である重力場によって記載されたように二つの物体の場の方程式の一般相対性理論。ケプラー問題を解くことは、重力による光の曲がりと、太陽を周回する惑星の運動を計算するために不可欠です。解はまた、連星の互いの周りの動きを記述し、重力放射によるエネルギーの段階的な損失を推定するためにも使用されます。 一般相対性理論は、湾曲した時空によって重力場を表します。この曲率を支配する場の方程式は非線形であるため、閉じた形で解くことは困難です。ケプラー問題の正確な解は見つかりませんでしたが、おおよその解はシュワルツシルト解です。この解決策は、一方の物体の質量Mがもう一方の物体の質量mよりも圧倒的に大きい場合に関係します。もしそうなら、より大きな質量は静止していて、重力場への唯一の貢献者であると見なされるかもしれません。これは、星を通過する光子とその太陽を周回する惑星の良い近似です。軽い物体（以下「粒子」と呼びます）の動きは、シュワルツシルト解から決定できます。運動は、湾曲した時空における測地線（「2点間の最短経路」）です。このような測地線ソリューションは、一般相対性理論を支持する重要な証拠である水星の異常な歳差運動を説明しています。彼らはまた、一般相対性理論の証拠として有名に使用されている別の予測である、重力場での光の曲がりについても説明しています。 連星のように、両方の質量が重力場に寄与すると考えられる場合、ケプラー問題はおおよそしか解決できません。開発された最も初期の近似法は、ポストニュートン展開でした。これは、初期解が徐々に修正される反復法です。最近では、数式の代わりにコンピューター を使用してアインシュタインの場の方程式を解くことが可能になりました。2つの物体が互いに軌道を回ると、重力放射が放出されます。これにより、連星パルサーPSR B1913 + 16に示されているように、エネルギーと角運動量が徐々に失われます。 以下のためにバイナリブラックホール2つの本体の問題の数値解法は、三つのグループは、画期的な技術を考案した2005年に、研究の四十年後に達成されました。

コンテンツ 1 歴史的背景 1.1 古典的なケプラー問題1.2 近点移動1.3 水星の異常な歳差運動1.4 アインシュタインの一般相対性理論2 一般相対性理論、特殊相対性理論、幾何学 2.1 測地線方程式3 シュワルツシルトソリューション 3.1 中心質量の周りの軌道3.2 有効ラジアルポテンシャルエネルギー3.3 円軌道とその安定性3.43.4 楕円軌道の歳差運動4 シュワルツシルトソリューションを超えて 4.1 ポストニュートン展開4.2 最新の計算アプローチ4.3 重力放射5 も参照してください 6 ノート 7 参考文献 8 参考文献 9 外部リンク

歴史的背景

古典的なケプラー問題 参照： ケプラーの惑星運動の法則、 ニュートンの万有引力の法則、および 二体問題   図1.はるかに大きな質量Mを周回する小さな質量mの典型的な楕円 軌道 。大きい方の質量も楕円軌道上を移動していますが、Mがmよりはるかに大きい ため、小さすぎて見えません 。直径の端は、遠地点、最も近い距離と最も遠い距離の点を示します ケプラー問題の名前は、デンマークの天文学者ティコ・ブラーエの助手として働いていたヨハネス・ケプラーに由来しています。ブラーエは、太陽系の惑星の動きを非常に正確に測定しました。これらの測定値から、ケプラーは、惑星運動の最初の現代的な記述であるケプラーの法則を定式化することができました。 すべての惑星の軌道は、2つの焦点のうちの1つに太陽がある楕円です。 ライン惑星と太陽を結ぶには、同じ一掃領域を等しい時間間隔の間。 惑星の公転周期の二乗は、その軌道の準主軸の立方体に正比例します。 ケプラーは1609年に最初の2つの法律を、1619年に3番目の法律を発表しました。これらは、プトレマイオスやコペルニクスなどの太陽系の初期のモデルに取って代わりました。ケプラーの法則は、二体問題の限られた場合にのみ適用されます。ヴォルテールとエミリーデュシャトレは、最初に「ケプラーの法則」と呼んだ。 ほぼ1世紀後、アイザックニュートンは彼の3つの運動の法則を策定しました。特に、ニュートンの第2法則は、質量mに加えられた力Fが、方程式F = maで与えられる加速度aを生成することを示しています。ニュートンはそれから質問を提起しました：ケプラーによって見られる楕円軌道を生み出す力は何でなければなりませんか？彼の答えは万有引力の法則にあり、質量Mと別の質量mの間の力は次の式で与えられると述べています。 =2 {F = G { frac {Mm} {r ^ {2}}}、}   ここで、rは質量間の距離、Gは重力定数です。この力の法則と彼の運動方程式を考えると、ニュートンは、互いに引き付け合う2つの点の質量がそれぞれ完全に楕円軌道に従うことを示すことができました。これらの楕円のサイズの比率はm / Mであり、大きな質量は小さな楕円上を移動します。場合Mがよりはるかに大きいMは、より大きな質量が軽い質量の楕円軌道の焦点に静止して表示され、M。このモデルは、おおよそ太陽系に適用できます。太陽の質量は惑星の質量よりもはるかに大きいため、各惑星に作用する力は主に太陽によるものです。お互いの惑星の重力は、最初の近似では無視できます。

近点移動 参照： 近点移動と ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル   他の力がない場合、ニュートン重力の影響下で別の粒子を周回する粒子は、同じ完全な楕円を永遠にたどります 。他の力（他の惑星の重力など）が存在すると、この楕円は徐々に回転します。この回転速度（軌道歳差運動と呼ばれる）は、非常に正確に測定できます。他の力の大きさと方向を知ることで、速度を予測することもできます。しかし、1859年に水星の観測から発見されたように、ニュートン重力の予測は観測と一致しません。 2つの物体間のポテンシャルエネルギーが、ニュートンの重力法則の1 / rポテンシャルと正確に一致せず、わずかに異なる場合、軌道の楕円は徐々に回転します（他の考えられる効果の中でも）。この近点移動は、主に太陽の扁平率（完全に球形ではない）と他の惑星の相互の引力のために、太陽を周回するすべての惑星で観察されます。遠地点は、軌道の最も近い距離と最も遠い距離の2つのポイントです（それぞれ、近地点と遠地点）。近点移動は、近地点を結ぶ線の回転に対応します。また、遠地点の線に沿って指すラプラス-ルンゲ-レンツベクトルの回転にも対応します。 ニュートンの重力の法則は、すべての惑星の動きを非常に正確に予測できるため、すぐに受け入れられるようになりました。これらの計算は、18世紀後半にピエールシモンラプラスによって最初に実行され、19世紀後半にフェリックスティセランドによって洗練されました。逆に、ニュートンの重力の法則が惑星の近点移動を正確に予測しなかった場合、それは重力の理論として破棄されなければならないでしょう。このような異常な歳差運動は19世紀後半に観察されました。

水星の異常な歳差運動 参照： 一般相対性理論のテスト 1859年、ユルバン・ル・ベリエは、水星の軌道歳差運動が本来あるべき姿ではないことを発見しました。その軌道の楕円は、他の惑星のすべての影響が考慮された後でも、ニュートン重力の伝統的な理論によって予測されたよりもわずかに速く回転（歳差運動）していました。影響は小さいですが（1世紀あたり約43秒角の回転）、測定誤差（1世紀あたり約0.1秒角）をはるかに上回っています。ルヴェリエは彼の発見の重要性をすぐに認識し、天文学者と物理学者に同様にそれを説明するように要求しました。惑星間塵、観測されていない太陽の扁平率、水星の検出されていない衛星、またはバルカンという名前の新しい惑星など、いくつかの古典的な説明が提案されました。 ：253–256これらの説明が無視された 後、一部の物理学者は、ニュートンの重力の逆二乗の法則が正しくないというより過激な仮説に駆り立てられました。たとえば、一部の物理学者は、2とはわずかに異なる指数を持つべき乗則を提案しました。 ：254  ニュートンの法則は速度に依存するポテンシャルで補足されるべきであると主張する人もいました。しかし、これはニュートンの天体力学との衝突を意味しました。天体力学に関する彼の論文で、ラプラスは、重力の影響が瞬時に作用しない場合、惑星自体の運動が運動量を正確に保存しないことを示しました（したがって、運動量の一部は重力のメディエーターに帰する必要がありますニュートンの観点から見た場合、重力の影響が有限の速度で伝播する場合、すべての時点で、惑星は太陽が当たる地点に引き付けられます。少し前であり、太陽の瞬間的な位置に向かっていませんでした。古典的なファンダメンタルズの仮定に基づいて、ラプラスは、重力が光速のオーダーの速度で伝播する場合、太陽系は不安定になり、長期間存在しないことを示しました。太陽系が十分に古いという観察により、彼は重力の速度に下限を設定することができ、それは光速よりも何桁も速いことが判明しました。 ：177  相対性原理を尊重する場の理論では、ラプラスの重力速度の推定は正しくありません。電界と磁界が結合するため、一定の速度で移動する点電荷の引力は、見たときに占めるように見える見かけの位置ではなく、推定された瞬間的な位置に向かっています。これらの問題を回避するために、1870年から1900年の間に、多くの科学者がヴィルヘルム・エドゥアルド・ウェーバー、カール・フリードリヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマンの電気力学的法則を使用して、安定した軌道を生成し、マーキュリーの軌道のヘリオン周辺シフトを説明しました。1890年、モーリス・レヴィはウェーバーとリーマンの法則を組み合わせることでこれを実現しました。これにより、重力の速度は彼の理論における光の速度と等しくなります。そして別の試みでは、ポール・ガーバー（1898）は、近日点シフトの正しい式を導き出すことにさえ成功しました（これは後にアインシュタインによって使用された式と同じでした）。しかし、ウェーバーなどの基本法則が間違っていたため（たとえば、ウェーバーの法則がマクスウェルの理論に取って代わられたため）、これらの仮説は棄却されました。すでにマクスウェルの理論を使用したヘンドリック・ローレンツ（1900）による別の試みは、低すぎる近日点シフトを生み出しました。

アインシュタインの一般相対性理論 参照： 一般相対性理論と 一般相対性理論の紹介   太陽の 重力による星の光 の曲がりのエディントンの1919年の測定は、 世界中で一般相対性理論の受け入れにつながりました 1904年から1905年頃、ヘンドリックローレンツ、アンリポアンカレ、そして最後にアルバートアインシュタインの特殊相対性理論の作品は、光速よりも速い効果の伝播の可能性を排除しています。その結果、ニュートンの重力の法則は、相対性原理と互換性のある別の法則に置き換える必要がありますが、相対論的効果が無視できる状況ではニュートン極限を取得する必要がこのような試みは、アンリ・ポアンカレ（1905）、ヘルマン・ミンコフスキー（1907）、アーノルド・ゾンマーフェルト（1910）によって行われました。 1907年、アインシュタインはこれを達成するために特殊相対性理論の後継者が必要であるという結論に達しました。1907年から1915年まで、アインシュタインは彼の等価原理を彼の道を導くための重要な概念として使用して、新しい理論に向けて取り組みました。この原理によれば、均一な重力場はその中のすべてに等しく作用するため、自由落下する観測者は検出できません。逆に、すべての局所的な重力効果は、線形に加速する参照フレームで再現可能である必要があり、その逆も同様です。したがって、重力は、遠心力やコリオリの力などの架空の力のように機能します。これらの力は、加速された参照フレーム内にあることに起因します。すべての架空の力は、重力と同じように、慣性質量に比例します。重力と特殊相対性理論の和解をもたらし、等価原理を組み込むには、何かを犠牲にする必要がありました。何かが、私たちの空間がユークリッド幾何学の法則に従うという長年の古典的な仮定でした。たとえば、ピタゴラスの定理は実験的に真であるということです。アインシュタインは、より一般的な幾何学である擬リーマン多様体を使用して、調整に必要な空間と時間の曲率を考慮しました。8年間の仕事（1907–1915）の後、彼は自然界で観察された物理法則、特に重力を再現するために時空を湾曲させる正確な方法を発見することに成功しました。重力は、時空の曲率が物理的に実在していると見なされるという意味で、架空の力の遠心力やコリオリの力とは異なりますが、架空の力は力とは見なされません。彼の場の方程式の最初の解は、水星の異常な歳差運動を説明し、光の異常な曲がりを予測しました。これは、彼の理論が発表された後に確認されました。これらのソリューションについて、以下で説明します。

一般相対性理論、特殊相対性理論、幾何学 通常では、ユークリッド幾何学、三角は従うピタゴラスの定理平方距離と述べ、DS 2空間の2点間は、その垂直成分の二乗和です 2= 2+ y 2 + z 2 {ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} 、！}   ここで、dx、dy、およびdzは、デカルト座標系の2点のx、y、およびz座標間の微小な違いを表します（ここに図を追加してください）。ここで、これが完全に真実ではない世界を想像してみて代わりに距離が与えられる世界 2= （（ 、 y z ）。 2+ （（ 、 y z ）。 y 2 + （（ 、 y z ）。 z 2 {ds ^ {2} = F（x、y、z）、dx ^ {2} + G（x、y、z）、dy ^ {2} + H（x、y、z） 、dz ^ {2} 、！}   ここで、F、G、およびHは位置の任意の関数です。そのような世界を想像するのは難しいことではありません。私たちは1つに住んでいます。地球の表面は湾曲しているため、完全に正確な地球の平面地図を作成することは不可能です。非デカルト座標系はこれをよく示しています。たとえば、球座標（r、θ、φ）では、ユークリッド距離を書くことができます。 2= 2+ 2 θ 2 + 2 sin 2 θ φφ 2 {ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} 、d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta 、d varphi ^ { 2} 、！}   もう1つの例は、長さを測定するために使用された定規が信頼できない世界であり、定規は位置や向きによって長さを変更しました。最も一般的なケースでは、距離dsを計算するときにクロスタームを考慮に入れる必要があります 2=NS 2+ yy+ zz+ ⋯+ z y z y+ zz z 2 {ds ^ {2} = g_ {xx} 、dx ^ {2} + g_ {xy} 、dx 、dy + g_ {xz} 、dx 、dz + cdots + g_ {zy} 、dz 、dy + g_ {zz} 、dz ^ {2} 、！}   ここで、9つの関数g xx、g xy、…、g zzは、リーマン幾何学の空間の幾何学を定義する計量テンソルを構成します。上記の球面座標の例では、クロスタームはありません。のみ計量テンソル成分非ゼロであるG RR = 1、G θθ = R 2及びG φφ = R 2罪2 θ。 アルバート・アインシュタインは、彼の特殊相対性理論で、2つの空間点間の距離dsが一定ではなく、観測者の動きに依存することを示しました。ただし、「固有時」と呼ばれ、記号dτで示される時空の2点間の分離の尺度がこれは不変です。言い換えれば、それは観察者の動きに依存しません。 2 τ 2 = 2 2 − 2 − y 2 − z 2 {c ^ {2} 、d tau ^ {2} = c ^ {2} 、dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} 、 ！}   球面座標で次のように書くことができます 2 τ 2 = 2 2 − 2 − 2 θ 2 − 2 sin 2 θ φφ 2 {c ^ {2} 、d tau ^ {2} = c ^ {2} 、dt ^ {2} -dr ^ {2} -r ^ {2} 、d theta ^ {2 } -r ^ {2} sin ^ {2} theta 、d varphi ^ {2} 、！}   この公式はピタゴラス定理の自然な拡張であり、時空に曲率がない場合にのみ同様に成り立ちます。で一般相対性理論この距離の式は、より一般的な形に修正されなければならないので、しかし、空間と時間は、曲率を有していてもよいです 2 τ 2 = μ ν μ ν{c ^ {2} 、d tau ^ {2} = g _ { mu nu} dx ^ { mu} 、dx ^ { nu} 、！}   地球の表面の距離を測定する式を一般化したのと同じです。メトリックの正確な形のG μνは、によって記載されるように、重力、質量、運動量及びエネルギーに依存アインシュタイン方程式。アインシュタインは、当時知られている自然法則に一致するようにこれらの場の方程式を開発しました。しかし、彼らは、後で確認されたこれまでにない現象（重力による光の曲がりなど）を予測しました。

測地線方程式 参照： シュヴァルツシルト測地線、 測地線、および クリストッフェル記号 アインシュタインの一般相対性理論によれば、無視できる質量の粒子が時空の測地線に沿って移動します。重力の源から遠く離れた、湾曲していない時空では、これらの測地線は直線に対応します。ただし、時空が曲がっている場合は直線から外れることが測地線の方程式はです。 2 μ 2+ Γν λ μ νλ = 0 {{ frac {d ^ {2} x ^ { mu}} {dq ^ {2}}} + Gamma _ { nu lambda} ^ { mu} { frac {dx ^ { nu}} {dq}} { frac {dx ^ { lambda}} {dq}} = 0}   ここで、Γはクリストッフェル記号を表し、変数qは時空を通る粒子の経路、いわゆる世界線をパラメーター化します。クリストシンボルのみに依存計量テンソル G μν、またはむしろそれが位置してどのように変化するかに。変数qは、時間的軌道（巨大な粒子が移動する）の固有時 τの定数倍であり、通常はそれに等しいと見なされます。軽い（またはヌル）軌道（光子などの質量のない粒子が移動する）の場合、固有時はゼロであり、厳密に言えば、変数qとして使用することはできません。それにもかかわらず、光のような軌道は、時間のような軌道の超相対論的極限、つまり、粒子の質量mがその全エネルギーを固定したままゼロになるときの限界として導き出すことができます。

シュワルツシルトソリューション Schwarzschild geodesics アインシュタイン場の方程式の正確な解は、シュワルツシルト計量です。これは、静止した、帯電していない、回転しない、球対称の質量Mの物体の外部重力場に対応します。これは、シュワルツシルト半径として知られる長さスケールr sによって特徴付けられます。これは、次の式で定義されます。= 22 {r_ {s} = { frac {2GM} {c ^ {2}}}}  ここで、Gは重力定数です。古典的なニュートン重力理論は、比r s / rがゼロになると、限界で回復します。その制限では、メトリックは特殊相対性理論によって定義されたものに戻ります。 実際には、この比率はほとんどの場合非常に小さいです。例えば、シュワルツシルト半径R S地球のは、およそ9 ミリメートル（3 / 8 インチ）。地球の表面では、ニュートン重力の補正は10億分の1にすぎません。太陽のシュワルツシルト半径ははるかに大きく、およそ2953メートルですが、その表面では、比r s / rはおよそ100万分の4です。白色矮星スターはかなり高密度であるが、その表面にも、ここでの比率は、百万でおよそ250部です。この比率は、中性子星（比率が約50％）やブラックホールなどの超高密度の物体の近くでのみ大きくなります。

中心質量の周りの軌道   ニュートン（左）とシュワルツシルト（右）時空におけるテスト粒子の軌道の比較。高解像度のアニメーショングラフィックを表示するには、 微小質量の試験粒子の軌道 {m}   中央の質量について {M}   運動方程式で与えられます（（τ ）。2 = E 2 2 2 − （（ 1 −）。（（ 2+ 2 2 ）。 { left（{ frac {dr} {d tau}} right）^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}- left（1-{ frac {r_ {s}} {r}} right） left（c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} right ）。}   どこ {h}  は比角運動量であり、 = ××v = L μ {h = r times v = {L over mu}}   と μ { mu}  で換算質量は。これは軌道の方程式に変換できます（（φφ ）。 2 = 4 2 − （（ 1 −）。（（ 4 2+ 2 ）。 { left（{ frac {dr} {d varphi}} right）^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}}- left（1- { frac {r_ {s}} {r}} right） left（{ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right）、}   ここで、簡潔にするために、2つの長さスケール、 = {a = { frac {h} {c}}}   と = L E {b = { frac {Lc} {E}}}  、が導入されました。それらは運動の積分であり、試験粒子の初期条件（位置と速度）に依存します。したがって、軌道方程式の解は次のようになります。 φφ= ∫ 1 2 [ 1 2 − （（ 1 −）。（（ 12+ 12 ）。] −1 2 。 { varphi = int { frac {1} {r ^ {2}}} left [{ frac {1} {b ^ {2}}}- left（1-{ frac {r_ { mathrm {s}}} {r}} right） left（{ frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {r ^ {2}}} right） right] ^ {-1/2} 、dr。}  

有効ラジアルポテンシャルエネルギー 上で導出された粒子の運動方程式（（τ ）。2 = E 2 2 2 − 2+2 − 2 2+2 3 { left（{ frac {dr} {d tau}} right）^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}- c ^ {2} + { frac {r_ {s} c ^ {2}} {r}}-{ frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} + { frac {r_ { s} h ^ {2}} {r ^ {3}}}}   定義を用いて書き換えることができるシュワルツシルト半径 Rのように 1 2 （（τ ）。2 = [ E2 2 2 − 1 2NS2 ] − L2 2 μ 2+ （（ + ）。L 2 2 μ 3 {{ frac {1} {2}} m left（{ frac {dr} {d tau}} right）^ {2} = left [{ frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}}}-{ frac {1} {2}} mc ^ {2} right] + { frac {GMm} {r}}-{ frac {L ^ {2}} { 2 mu r ^ {2}}} + { frac {G（M + m）L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}   これは、1次元の有効ポテンシャルで移動する粒子に相当します。 V （（ ）。 = −+ L2 2 μ 2 − （（ + ）。L 2 2 μ 3 {V（r）=-{ frac {GMm} {r}} + { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}}-{ frac {G（M + m）L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}   最初の2つの用語はよく知られている古典的なエネルギーであり、最初の用語は魅力的なニュートン重力ポテンシャルエネルギーであり、2番目の用語は反発する「遠心」ポテンシャルエネルギーに対応します。ただし、第3項は、一般相対性理論に特有の魅力的なエネルギーです。以下および他の場所に示されているように、この逆立方体エネルギーにより、楕円軌道は1回転あたり角度δφだけ徐々に歳差運動します。 δ φφ≈ 6 π （（ + ）。 2 （（ 1− e 2 ）。 { delta varphi approx { frac {6 pi G（M + m）} {c ^ {2} A left（1-e ^ {2} right）}}}   ここで、Aは半主軸、eは離心率です。ここでδφはありません変化φ（中-座標T、R、θ、φ）座標が、変化近点引数古典周回軌道の。 第三項は、小さなに魅力的で支配的であるRの臨界内径与え、値Rインナー粒子がに容赦なく内側に描画されるR = 0。この内側の半径は、単位質量あたりの粒子の角運動量、または同等に、上記で定義された長さスケールの関数です。

円軌道とその安定性   さまざまな角運動量に対する有効な半径方向のポテンシャル。小さな半径では、エネルギーが急激に低下し、粒子が容赦なく内側に引っ張られて r = 0になります。ただし、正規化された角運動量 a / r s = L / mcr sが3の平方根に等しい場合、準安定円軌道は次のようになります。緑の円で強調表示された半径で可能です。より高い角運動量では、有意な遠心力障壁（オレンジ色の曲線）と不安定な内半径があり、赤で強調表示されています。 実効ポテンシャルVは、長さa = h / cで書き直すことができます。 V （（ ）。= 2 2 [ − NS+ 2 2 −2 3 ] {V（r）= { frac {mc ^ {2}} {2}} left [-{ frac {r_ {s}} {r}} + { frac {a ^ {2}} {r ^ {2}}}-{ frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}}} right]。}   有効な力がゼロの場合、円軌道が可能です。 = − V = − 2 4 [2 − 2 2 + 32 ] 0 ; {F =-{ frac {dV} {dr}} =-{ frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}}} left [r_ {s} r ^ {2} -2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} right] = 0;}   つまり、2つの引力（ニュートン重力（第1項）と一般相対性理論に固有の引力（第3項））が反発遠心力（第2項）によって正確に釣り合っている場合です。このバランスが発生する可能性のある2つの半径があり、としてここで示され、R 、内側及びR外側： o u e= 2 （（ 1+ 1 − 3 22 ）。 I e= 2 （（ 1− 1 − 3 22 ）。= 32 o u e 、 {{ begin {aligned} r _ { mathrm {outer}}＆= { frac {a ^ {2}} {r_ {s}}} left（1+ { sqrt {1-{ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}} right）\ r _ { mathrm {inner}}＆= { frac {a ^ {2}} {r_ {s} }} left（1-{ sqrt {1-{ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}} right）= { frac {3a ^ {2}} {r _ { mathrm {outer}}}}、 end {aligned}}}   二次方程式を使用して得られます。内半径R内には魅力第力がはるかに速く、他の二つの力よりも強くするため、不安定であり、Rが小さくなります。粒子からわずかに内側に滑る場合にR内（すべての3つの力が均衡している）、第三の力は、他の2つを支配とに容赦なく内側に粒子を描画R  、ただし、円形の軌道が安定している外側の半径で= 0。3番目の項はそれほど重要ではなく、システムは非相対論的ケプラー問題のように動作します。 場合よりもはるかに大きいR S（古典的な場合）、これらの式は、約なります o u e≈22私 e≈ 3 2 {{ begin {aligned} r _ { mathrm {outer}}＆ approx { frac {2a ^ {2}} {r_ {s}}} \ r _ { mathrm {inner}}＆ approx { frac {3} {2}} r_ {s} end {aligned}}}     安定及び不安定な半径は、正規化角運動量に対してプロットされた A / R S = L / MCR のそれぞれ青色および赤色です。これらの曲線は、正規化された角運動量が3の平方根に等しいときに、固有の円軌道（緑色の円）で交わります。比較のために、求心加速度とニュートンの重力の法則から予測された古典的な半径 が黒でプロットされています。 定義は置換およびR Sの中にR 、外側質量の粒子のための古典的な式収率M質量の本体旋回Mは。 次の式 o u e 3= （（ + ）。 ω φφ 2 {r _ { mathrm {outer}} ^ {3} = { frac {G（M + m）} { omega _ { varphi} ^ {2}}}}   ここで、ω φは粒子の軌道角速度は、設定することにより、非相対論的力学に得られる遠心力をニュートン重力に等しいです。2=μ ω φ2 {{ frac {GMm} {r ^ {2}}} = mu omega _ { varphi} ^ {2} r}   どこ μ { mu}  で換算質量は。 私たちの表記では、古典的な軌道角速度は次のようになります。ω φ2 ≈o u e 3 = （（2 2 o u e 3 ）。 = （（2 2 ）。（（3 8 6 ）。= 2 4 16 6 { omega _ { varphi} ^ {2} append { frac {GM} {r _ { mathrm {outer}} ^ {3}}} = left（{ frac {r_ {s} c ^ {2}} {2r _ { mathrm {outer}} ^ {3}}} right）= left（{ frac {r_ {s} c ^ {2}} {2}} right） left （{ frac {r_ {s} ^ {3}} {8a ^ {6}}} right）= { frac {c ^ {2} r_ {s} ^ {4}} {16a ^ {6} }}}   他の極端において、2近づく3 R S 2上から、二つの半径が単一の値に収束します o u e ≈ I e ≈ 3 {r _ { mathrm {outer}} approx r _ { mathrm {inner}} upperx 3r_ {s}}   次のソリューションは、上記のことを保証Rの外側は常に3以上であり、R Sに対し、R内の間にある 3 / 2 R S及び3 R S。より小さい円軌道 3 / 2のR Sは不可能です。質量のない粒子について、円形の軌道がで光子のために存在することを意味し、無限に移行Rインナー=3 / 2 R sは。この半径の球は、光子球と呼ばれることも   

楕円軌道の歳差運動   非相対論的 ケプラー問題では、粒子は同じ完全な楕円（赤い軌道）を永遠にたどります 一般相対性理論は、特に小さな半径で、ニュートン重力よりもわずかに強く粒子を引き付ける第3の力を導入します。この3番目の力により、粒子の楕円軌道は回転方向に 歳差運動（シアン軌道）します。この効果は、水星、 金星、地球で測定されてい ます。軌道内の黄色い点は、太陽などの引力の中心を表してい 軌道歳差運動率は、この半径方向の有効ポテンシャルVを使用して導き出すことができます。半径r外側の円軌道からの小さな半径方向の偏差は、角周波数で安定した方法で振動します ω 2 = 1 [ 2 V 2 ] = o u e { omega _ {r} ^ {2} = { frac {1} {m}} left [{ frac {d ^ {2} V} {dr ^ {2}}} right] _ {r = r _ { mathrm {outer}}}}   等しい ω 2 = （（ 2 2 o u e 4 ）。 （（ o u e − I e ）。= ω φφ 1 − 3 2 2 { omega _ {r} ^ {2} = left（{ frac {c ^ {2} r_ {s}} {2r _ { mathrm {outer}} ^ {4}}} right） left（r _ { mathrm {outer}}-r _ { mathrm {inner}} right）= omega _ { varphi} ^ {2} { sqrt {1-{ frac {3r_ {s} ^ { 2}} {a ^ {2}}}}}}   両側の平方根を取り、二項定理を使用して展開すると、次の式が得られます。 ω =ω φ（（ 1− 3 2 4 2 + ⋯）。 { omega _ {r} = omega _ { varphi} left（1-{ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2}}} + cdots right）}   1回転の周期Tを掛けると、1回転あたりの軌道の歳差運動が得られます。 δ φφ= （（ ωφ − ω ）。≈ 2 π（（ 32 4 2 ）。 3 π 2 22L 2 2 { delta varphi = T（ omega _ { varphi}- omega _ {r}） approx 2 pi left（{ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ { 2}}} right）= { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} r_ {s} ^ {2}}   我々が使用している場合ω φ T = 2 π、長さスケールの定義A。定義代入シュワルツシルト半径 R Sを与えます δ φφ≈ 3 π 2 2 2L 2 （（ 4 2 2 4 ）。 6 π 2 2 2 2L 2 { delta varphi approx { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} left（{ frac {4G ^ {2} M ^ { 2}} {c ^ {4}}} right）= { frac {6 pi G ^ {2} M ^ {2} m ^ {2}} {c ^ {2} L ^ {2}} }}   これは、楕円軌道の半長軸用いて簡略化することができるAと偏心Eによって関連付け式 2 （（ + ）。= （（ 1− e 2 ）。 {{ frac {h ^ {2}} {G（M + m）}} = A（1-e ^ {2}）}   歳差運動角度を与えるために δ φφ≈ 6 π （（ + ）。 2 （（ 1− e 2 ）。 { delta varphi approx { frac {6 pi G（M + m）} {c ^ {2} A（1-e ^ {2}）}}}   閉じた古典的な軌道が一般的に楕円形であるため、量A（1 – E 2）半latus直腸あるL楕円。 したがって、単位完全回転の角度近点移動の最終式は次のようになります。 δ φφ≈ 6 π （（ + ）。 2 l { delta varphi approx { frac {6 pi G（M + m）} {c ^ {2} l}}}  

シュワルツシルトソリューションを超えて   さまざまな近似スキームとそれらの有効領域を使用したコンパクトバイナリのパラメータ空間の図。

ポストニュートン展開 参照： ポストニュートン展開と パラメーター化されたポストニュートン形式 シュワルツシルト解法では、大きい方の質量Mは静止しており、それだけで重力場（つまり、時空の幾何学）を決定すると想定されます。したがって、小さい方の質量mは、その固定された時空を通る測地線経路をたどります。 。これは、太陽の約600万倍軽い光子と水星の軌道の妥当な近似値です。ただし、質量が同じ大きさである可能性がある連星には不十分です。 2つの比較可能な質量の場合のメトリックは、閉じた形式では解けないため、ポストニュートン近似や数値近似などの近似手法を使用する必要がちなみに、低次元での1つの特定の例外について説明します（詳細については、R  =  Tモデルを参照してください）。（1 + 1）次元、つまり1つの空間次元と1つの時間次元で構成される空間では、質量が等しい2つの物体のメトリックをランベルトのW関数で解析的に解くことができます。しかし、2つの物体間の重力エネルギーは、伝播するために3つの空間を必要とする重力子ではなく、ディラトンを介して交換されます。 ポストニュートン展開は、与えられた問題にこれまで以上に正確な一連の溶液を提供した計算方法です。この方法は反復的です。粒子運動の初期解は、重力場を計算するために使用されます。これらの導出されたフィールドから、新しい粒子の動きを計算することができ、そこからフィールドのさらに正確な推定値を計算することができます。このアプローチは、粒子軌道のニュートン解が初期解としてよく使用されるため、「ポストニュートン」と呼ばれます。 この方法を質量に制限のない2体問題に適用すると、結果は非常に単純になります。最も低いオーダーでは、2つの粒子の相対運動は、それらの結合された質量の場での微小粒子の運動と同等です。換言すれば、シュバルツシルト溶液を提供することを、適用することができるM +のmはの代わりに使用されるMシュワルツシルト半径のための式中のR Sと回転δφ当たりの歳差運動角。

最新の計算アプローチ 参照： 数値相対論 アインシュタインの方程式は、高度な数値解法を使用してコンピューターで解くこともできます。 十分なコンピューター能力があれば、そのようなソリューションはポストニュートンソリューションよりも正確になる可能性がただし、方程式は一般に4次元空間で解かなければならないため、このような計算は要求が厳しくなります。それにもかかわらず、1990年代後半から、一般相対性理論におけるケプラー問題の非常に難しいバージョンである2つのブラックホールの併合などの難しい問題を解決することが可能になりました。

重力放射 参照： 重力放射 一般相対性理論によれば、入ってくる重力放射がない場合、互いに軌道を回っている2つの物体が重力放射を放出し、軌道のエネルギーが徐々に失われます。 ケプラー問題の2つの物体からの重力放射によるエネルギーの損失と角運動量を表す式が計算されました。エネルギーの損失率（完全な軌道全体で平均）はで与えられます。 − ⟨ E ⟩ = 32 4 12 2 2（（ 1+ 2 ）。 5 5 5（（ 1− e 2 ）。7 / 2（（ 1+73 24 e2 37 96e 4 ）。 { displaystyle- left langle { frac {dE} {dt}} right rangle = { frac {32G ^ {4} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2}（m_ {1} + m_ {2}）} {5c ^ {5} a ^ {5}（1-e ^ {2}）^ {7/2}}} left（1 + { frac {73} { 24}} e ^ {2} + { frac {37} {96}} e ^ {4} right）}   ここで、eは軌道離心率、aは楕円軌道の半主軸です。方程式の左側にある角括弧は、単一の軌道での平均を表します。同様に、角運動量を失う平均速度は − ⟨ L z ⟩=32 7 / 2 1 2 2 2 1+ 2 5 5 7/ 2（（ 1− e 2 ）。 2 （（ 1+7 8e 2 ）。 { displaystyle- left langle { frac {dL_ {z}} {dt}} right rangle = { frac {32G ^ {7/2} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} { sqrt {m_ {1} + m_ {2}}}} {5c ^ {5} a ^ {7/2}（1-e ^ {2}）^ {2}}} left（ 1+ { frac {7} {8}} e ^ {2} right）}   期間の減少率は で与えられます。 − ⟨NS ⟩ 192 π 5 / 3 1 2（（ 1+ 2 ）。− 1 / 3 5（（ 1− e 2 ）。7 / 2（（ 1+73 24 e2 37 96e 4 ）。 （（2 π ）。− 5 / 3 { displaystyle- left langle { frac {dP_ {b}} {dt}} right rangle = { frac {192 pi G ^ {5/3} m_ {1} m_ {2}（m_ {1} + m_ {2}）^ {-1/3}} {5c ^ {5}（1-e ^ {2}）^ {7/2}}} left（1+ { frac {73 } {24}} e ^ {2} + { frac {37} {96}} e ^ {4} right） left（{ frac {P_ {b}} {2 pi}} right） ^ {-{5/3}}}   ここで、PとBは、軌道周期です。 離心率が1に近づくと、つまり軌道の楕円がさらに長くなると、エネルギーと角運動量の損失が大幅に増加します。軌道のサイズaが小さくなると、放射損失も大幅に増加します。   連星パルサーPSRB1913 + 16（青い点）の軌道周期の実験的に観察された減少は、一般相対性理論（黒い曲線）の予測とほぼ正確に一致します。   互いに急速に回転する2つの中性子星は、重力放射を放出することによって徐々にエネルギーを失います。それらがエネルギーを失うと、それらは互いにより速くそしてより密接に周回します。

も参照してください  物理ポータル  天文学ポータル ビネ方程式 重心（相対論的） 重力二体問題 ケプラー問題 ニュートンの回転軌道の定理 シュヴァルツシルトジオデシック

ノート ^ ファインマン物理学の講義vol。IIは、電磁気学における類似の問題を徹底的に扱います。ファインマンは、移動する電荷の場合、非放射場は粒子の見かけの位置ではなく、粒子が一定の速度で直線を続けると仮定して外挿された位置に向かう引力/反発であることを示しています。これは、 Wheeler-Feynman吸収理論で使用されるLiénard-Wiechertポテンシャルの注目すべき特性です。おそらく同じことが線形重力にも当てはまります。たとえば、重力電磁気トロイダルを参照して

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外部リンク 天の川の超大質量ブラックホールの周りの星の相対論的な歳差運動を示すアニメーション ケビン・ブラウンによる相対性に関する考察からの抜粋。”

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