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３×３の魔方陣の作り方
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３×３の魔方陣の作り方

３×３の魔方陣の作り方 2025 7/13 中世中国 2018年5月24日2025年7月13日 当ページのリンクには広告が含まれています。

縦・横・斜めの数の和がすべて等しくなるように数が配置される魔方陣。この記事では、３×３の魔方陣の論理的な作り方を解説します。

この記事を読んでわかること
  • 魔方陣とは何か
  • 魔方陣を論理的に作るにはどうすればよいか
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Fukusuke（ふくすけ）数学史の先生

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Ⅰ　魔方陣とは

　「まほうじん」と聞くと、ゲーム等で出てくる「魔法陣」を思い浮かべる方もいますが、数学の「まほうじん」は魔法の四角形という意味合いで「魔方陣」と書きます。　英語にすると“magic square “ です。まずは、この魔方陣の定義を確認しておきましょう。

魔方陣の定義

　$~n\times n~$ の魔方陣とは、 $~1~,~2~,~\cdots~,~n^2~$ の自然数を $~n\times n~$ の正方形のマスに入れ、縦・横・斜めの数の和が一定になるものを言う。

　今回考える３×３の魔方陣で言えば、 $~1,2,3,4,5,6,7,8,9~$を各マスに入れ、 縦・横・斜めの和が等しくなるようにしなければなりません。　＜図１＞のように、３×３の魔方陣では縦・横・斜めで合計８ラインあります。

＜図１＞　３×３魔方陣の８ライン

　では、３×３の魔法陣の論理的な作り方を次章で解説しましょう。

Ⅱ　３×３魔方陣の作り方

　以下の手順で３×３の魔方陣を一意的に作ることができます。

  1. １ラインの和を求める
  2. 中央の数を求める
  3. １の場所を求める
  4. １の周りを埋める
  5. 全マス埋める

では、各手順について細かく見てみましょう。

３×３の魔方陣の作り方 STEP１ラインの和を求める

　下のような魔方陣で考える。　ただし、$~a~$ ～ $~i~$ にはそれぞれ１～９の自然数が１つずつ入るものとする。

＜図２＞　魔方陣を文字で置く

　このとき、次の式が成り立つ。

\begin{align*} &a+b+c+d+e+f+g+h+i \\ &=1+2+3+4+5+6+7+8+9 \\ &=45 ~~~~\cdots ① \end{align*}

$①$より、

\begin{equation*} (a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)=45 \end{equation*}

となるため、それぞれのカッコ内の式が各行の和$~S~$を表すことから、

\begin{align*} S+S+S&=45 \\ 3S&=45 \\ S&=15 \end{align*}

が求まった。

STEP中央の数を求める。

　次に、中央の数を通る４ラインの和について考えると、次の等式が成り立つ。

\begin{equation*} (a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)=15 \times 4 \end{equation*}

項のまとまりを変えることで、

\begin{equation*} (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60 \end{equation*}

であり、$①$より、

\begin{align*} 45+3e&=60 \\ 3e&=15 \\ e&=5 \end{align*}

と、中央の数$~e~$が求まった。

STEP１の場所を求める ＜図３＞　中央の数が埋まった魔方陣

　３つの数のうちの１つが$~1~$であるとすると、残りの２つの数で和が１５になるようにするためには、

  • $~1~,~5~,9~$の組み合わせ
  • $~1~,~6~,8~$の組み合わせ

の２パターンしかない。

　そのため、四隅である（ $~a~,~c~,~g~,~i~$ ）は縦・横・斜めの３ラインに影響するため、$~1~$を配置することができない。　すなわち、１は $~b~,~d~,~f~,~h~$ のどこかに配置される。

　魔方陣は左右・上下対称なので、 $~b~,~d~,~f~,~h~$ のどこに置いても一般性は失われない。

　そこで、今回は $~b=1~$ とする。

＜図４＞　１が埋まった魔方陣 STEP１の周りを埋める

　STEP３より、$~1~$と同じライン上には、$~5~$と $~9~$ の組み合わせか $~6~$ と $~8~$ の組み合わせしかないため、 $~h=9~$ がわかる。　さらに、 $~a~,~c~$ には $~6~$ と $~8~$ が入ることがわかりますが、魔方陣は左右対称であることから、 $~a~,~c~$ どちらを $~6~$ にしても一般性は失われない。

　そこで、今回は $~a=6~,~c=8~$ とする。

＜図５＞　５マス埋まった魔方陣 STEP全マス埋める

ここまでくればあとは自然に埋まります。斜めに注目すれば、

\begin{align*} 8+5+g&=15 \\ g&=2 \\ \\ 6+5+i&=15 \\ i&=4 \end{align*}

が求まる。

　また、１列目、３列目に注目すれば、

\begin{align*} 6+d+2&=15 \\ d&=7\\ \\ 8+f+4&=15 \\ f&=3 \end{align*}

が求まるため、魔方陣が完成した。

＜図６＞　完成した魔方陣

　「一般性は失われない」という難しい日本語を使いましたが、要は「何を入れても結果的には一緒ですよ～」という意味です。

　以上、数をあてはめて試行錯誤するのではなく、論理的に魔方陣を完成させる方法でした！

　他にも魔方陣に関する記事を書いているので、是非ご覧ください↓↓

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パズルとして楽しめなくなっちゃったにゃ。

　ま、まぁね。　でも、数学得意の数式や背理法を使えば、パズルも機械的に解くことができることが証明されたよ。

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  • 『カッツ　数学の歴史』
  • 『メルツバッハ＆ボイヤー数学の歴史（Ⅰ・Ⅱ）』
  • 『数学の流れ30講（上・中・下）』
  • 『数学の歴史物語』
  • 『フィボナッチの兎』
  • 『高校数学史演習』
  • 『数学の世界史』
  • 『数学の文化史』
  • 『モノグラフ　数学史』
  • 『数学史　数学5000年の歩み』
  • 『数学物語』
  • 『世界数学者事典』
  • 『数学者図鑑』
  • 『数学を切りひらいた人々（１～５）』
  • 『天才なのに変態で愛しい数学者たちについて』
  • 『素顔の数学者たち』
  • 『数学スキャンダル』
  • 『ギリシャ数学史』
  • 『古代ギリシャの数理哲学への旅』
  • 『ずかん　数字』
  • 『πとeの話』
  • 『代数学の歴史』
  • 『幾何学の偉大なものがたり』
  • 『アキレスと亀』
  • 『ピタゴラスの定理100の証明法』
  • 『ピタゴラスの定理』
  • 『フェルマーの最終定理』
  • 『哲学的な何か,　あと数学とか』
  • 『数と記号のふしぎ』
  • 『身近な数学の記号たち』
  • 『数学用語と記号ものがたり』
  • 『納得する数学記号』
  • 『図解教養事典　数学』
  • 『イラストでサクッと理解　世界を変えた数学史図鑑』（拙著）
  • 『教養としての数学史』（拙著）
  • Mac Tutor（ https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/ ）
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