中学数学「よく出る円と相似の融合問題」

円と相似の融合問題です。中学数学で「円」と「相似」の問題は、どちらも頻出で、理解を深めておくことが重要です。しかし、これらが融合した問題となると、少し複雑に感じるかもしれません。この記事では、円と相似を組み合わせた問題を解きながら、その解き方のポイントを丁寧に解説します。出題傾向を踏まえて、効率よく理解を深め、テストで自信を持って取り組めるようにしましょう！

円周角の定理や相似の出現パターンを考慮しながら、解いていきましょう。また、直角三角形など直角する場合などは、三平方の定理を利用するときがほとんどです。

今回使う公式の例

円と相似の融合問題
1. 円と相似の融合問題の解説・解答

円と相似の融合問題

【問1】図のように、円Oの2つの弦AB、CDが点Pで交わっている。AB＝11ｃｍ、BC＝12ｃｍ、AD＝8ｃｍ、DP＝4ｃｍ、∠ CDB ＝65°のとき、次の問いに答えなさい。

（1）△CPB∽△APDであることを証明せよ。（2）∠ADPの大きさを求めよ。（3）線分PBの長さを求めよ。（4）線分PCの長さを求めよ。

【問2】図のように、円Oの円周上に点A,B,C,Dがる。点Eは、線分ADと線分BDの交点であり、点Fは、線分BAの延長と線分CDの延長が交わる点である。BC=12ｃｍ、AB＝AC、∠ABD＝∠CBDのとき、次の問いに答えよ。

（1）△ABE≡△ACFであることを証明せよ。（2）∠ADFの大きさを求めよ。（3）△ACFの面積を求めよ。

円と相似の融合問題の解説・解答

【問1の解説】（1） △CPBと△APDにおいて、弧BCの円周角より、∠PCB＝∠PAD…① 弧ACの円周角より、∠CPB＝∠APD…②

①②より 2組の角がそれぞれ等しいので、 △CPB∽△APD

（2）直径の円周角は90°を利用する。直径があって、90°が見当たらないときは、補助線を入れて90°を作ります。その後、共通する円周角は等しいなどから、図のように65°を記入。あとは、三角形の内角の和は180°から、180-90-65＝25°となる。

（3）相似を見つける。

△CPB∽△APDより

PD:PB=AD:CB 4：ｘ＝8：12 x＝6

PB＝6ｃｍ

（4）相似をさらに探し求めていく。（3）よりPB=6ｃｍなので、PA＝AB-PB=11-6＝5ｃｍ

△CPB∽△APDより

PA:PC=AD:CB 5：ｙ＝8：12 ｙ＝15/2

PA＝15/2ｃｍ

【問2の解説】（1）△ABEと△ACFにおいて

仮定より　AB＝AC…① 直径BCの円周角より、∠BAE＝∠CAF＝90°…② 弧ADの円周角より、∠ABE＝∠ACF…③

①②③より 1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ABE≡△ACF

（2）内接する四角形の定理を利用する。よって、45°

（3）わかっている長さを書き込んでいく。 ACの長さは、△ABCが直角二等辺三角形より、特別な直角三角形を使い、6√2 FAの長さは、BF-ABとなる。AB＝ACなので、BF-AC（6√2ｃｍ）を求めることなる。BFは、BC（12ｃｍ）の長さと等しい。（※△BDF≡△BDCより）よって、FAは12-6√2

よって、求める△ACF＝6√2（12-6√2）÷2＝36√2-36

【解答】問1 （1）解説参照（2）25° （3）6ｃｍ（4）15/2ｃｍ

問2 （1）解説参照（2）45° （3）36√2-36

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