線形写像の定義・性質と具体例8つ
線形代数学ではとても大事な写像である，線形写像とは，ラフにいうと
- f(\boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}),
- f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x})
の両方をみたす写像のことです。これについて，そのちゃんとした定義と，基本的な性質と具体例8つを確認しましょう。
目次- 線形写像の定義
- 線形写像の基本的な定義
- 線形写像の同値な定義
- 同値であることの証明
- 線形写像の具体例8つ
- 線形写像の性質
- 線形写像の基本的な性質
- 線形写像のその他の性質
- 線形同型写像
線形写像の定義
以下， \mathbb{F} とかくと，それは実数全体の集合 \mathbb{R} または複素数全体の集合 \mathbb{C} と思ってください(数学に詳しい場合，より一般に「体 (field)」と思っても構いません)。
線形写像の基本的な定義定義（線形写像）
V, W を \mathbb{F} 上のベクトル空間とする。 f\colon V \to W が線形写像（線型写像; linear map) であるとは，
- f(\boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}), \quad \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V,
- f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}), \quad k \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x} \in V
の両方が成立することである。
ベクトル空間の間の，和と定数倍が保存される写像を線形写像というのですね。
なお，この記事においては，「ベクトル空間」が分からなくてもある程度は読めるようになっています。分からない場合は，「和と定数倍が定義されている集合」と思ってください。
ベクトル空間について知りたい場合は，以下の記事を参照してください。今回は知らなくてもある程度読めるようになっています。
ベクトル空間・部分ベクトル空間の定義と具体例10個ベクトル空間（線形空間，線型空間，vector space）は，簡単に理解できない概念の一つです。本記事では，まずベクトル空間と部分ベクトル空間の定義を述べ，様々な具体例を考えることで，少しでもベクトル空間を理解することを目指します。mathlandscape.com 線形写像の同値な定義上と同値な定義を紹介しましょう。以下の定理を見てください。
定理（線形写像の同値な定義）
V, W を \mathbb{F} 上のベクトル空間とする。このとき， f\colon V \to W が線形写像であること，すなわち，
- f(\boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}), \quad \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V,
- f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}), \quad k \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x} \in V
が成立することと，
- f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) = k f(\boldsymbol{x}) + l f(\boldsymbol{y} ), \,\, k,l \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V
が成立することは同値である。
この定理のため，線形写像であることを，「 f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) = k f(\boldsymbol{x}) + l f(\boldsymbol{y} ), \,\, k,l \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V が成り立つこと」として定義することがあります。これは，元の定義と同値になっているわけです。
同値であることの証明- f(\boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}), \quad \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V,
- f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}), \quad k \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x} \in V
- f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) = k f(\boldsymbol{x}) + l f(\boldsymbol{y} ), \,\, k,l \in \mathbb{F}, \, \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V
であることを証明しておきましょう。
証明
( \implies について)
和について， f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) = f(k\boldsymbol{x}) + f(l \boldsymbol{y}) が成立し，かつ定数倍について f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}), f(l \boldsymbol{y}) = l f(\boldsymbol{y}) であることから従う。
( \impliedby について)
f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) = k f(\boldsymbol{x}) + l f(\boldsymbol{y} ) で k = l = 1 とおくと f(\boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}) が従い， l = 0 とおくと f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}) が従う。
証明終
線形写像の具体例8つ
線形写像の性質を述べる前に，先に具体例を挙げていきましょう。
以下では，特別言及しない限り， \mathbb{R} 上ベクトル空間を考え， k, l \in \mathbb{R} とします。
例1.
a \in \mathbb{R} とする。 \color{red} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を \color{red} f(x) = ax とすると，これは線形写像である。
\mathbb{R} を \mathbb{R} 上ベクトル空間と考えています。
線形写像であることは， x, y, k \in \mathbb{R} に対し，
\begin{gathered} f(x) + f(y) = ax + ay = a(x+y) = f(x+y), \\ f(kx) = a(kx) = k(ax) = kf(x) \end{gathered}であることからわかります。線形写像とは， f(x) = ax のような，「1次の変換」の一般化と思えます。次の例を見てください。
例2.
f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を f(x) = x^2 とすると，これは線形写像ではない。
実際， f(1+1) = 4 \ne 2 = f(1) + f(1) なので，線形写像の性質が成立していません。
f(x) = x^2 は「2次の変換」と言えます。線形写像はあくまで「1次の変換」であり，「2次の変換」ではありません。
例3.
f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を f(x) = x + 1 とすると，これは線形写像ではない。
線形写像ならば f(0) = 0 でしたから，これは線形写像ではありません。定数項があってはダメです。
例4.
\color{red} f\colon \mathbb{R^3} \to \mathbb{R} を \color{red} f(x,y,z) = x + y + z と定めると，これは線形写像である。
これは「1次の変換」といえますね。
例5.
f\colon \mathbb{R^3} \to \mathbb{R} を f(x,y,z) = |x| + |y| + |z| と定めると，これは線形写像ではない。
実際， f(1,0,0) + f(-1,0,0) = 2 \ne 0 = f(0,0,0) なので，線形写像ではありません。
例6.
\displaystyle \color{red} \frac{d}{dx}\colon C^1(\mathbb{R}) \to C(\mathbb{R}) を，\color{red} f \mapsto f^\prime と定めると，これは線形写像である。
ただし， C^1(\mathbb{R}) は C^1 級関数（微分可能かつ微分が連続な関数）全体の集合， C(\mathbb{R}) は連続関数全体の集合を表す（→ C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ）。
微分を返す写像は，線形写像というわけです。実際， (kf+lg)^{\prime} = k f^\prime + l g^\prime なので，線形性を満たしています。
C^1(\mathbb{R}), C(\mathbb{R}) がベクトル空間であることはベクトル空間・部分ベクトル空間の定義と具体例10個の例を確認してください。
例7.
\color{red} f\colon C[0, 1] \to \mathbb{R} を， \color{red} f(x) = \int_0^1 x(t) \, dt と定めると，これは線形写像である。
ただし， C[0, 1] = \{ f\colon [0, 1] \to \mathbb{R} \mid f \text{ is continuous} \} である(continuous とは「連続」という意味)。
積分を返す写像は，線形写像というわけです。実際， \int_0^1 (kx(t) + l y(t)) \, dt = k \int_0^1 x(t) \, dt + l \int_0^1 y(t) \, dt であることからわかります。
例8.
確率変数 X に対し，その期待値を返す関数 \color{red}E \colon X \mapsto E[X] は線形写像である。
期待値を返す写像は，線形写像というわけです。実際， E[kX+lY] = k E[X] + l E[Y] なので，線形写像です。
実は，「期待値」というのは，数学では「積分」で定義されるため，これが線形であることは，積分が線形であることから直ちに従います。
線形写像の性質
さて，線形写像の性質をいくつか挙げましょう。
線形写像の基本的な性質定理（線形写像の性質）
V, W をベクトル空間， f\colon V \to W を線形写像とする。このとき，
- f(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}.
また，さらに X をベクトル空間， g\colon W \to X を線形写像とすると，
- g\circ f \colon V \to X も線形写像である。
どちらも覚えるべき重要な性質です。
証明
( f(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0} について)
f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x}) で， k = 0 とすれば従う。
( g\circ f が線形写像であることについて)
f, g は線形写像であるから，
\begin{aligned} &g\circ f(k\boldsymbol{x} + l \boldsymbol{y}) \\ & = g(kf(\boldsymbol{x} )+ l f(\boldsymbol{y}) \\ &= kg(f(\boldsymbol{x})) + lg(f(\boldsymbol{y})) \\ &= k \, g\circ f(\boldsymbol{x}) + l \, g\circ f(\boldsymbol{y}) \end{aligned}よって g \circ f は線形写像である。
証明終
線形写像のその他の性質もう少し発展的な性質を紹介しておきましょう。
定理（線形写像の性質2）
V, W をベクトル空間， f\colon V \to W を線形写像とする。このとき，
- \mathrm{Im} \, f = f(V)= \{f(\boldsymbol{x}) \in W\mid \boldsymbol{x} \in V \} は W の部分ベクトル空間。
- \ker f = \{\boldsymbol{x} \in V \mid f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0} \} は V の部分ベクトル空間。
- f が単射である必要十分条件は \ker f = \{\boldsymbol{0}\} となることである。
1-2.の証明については，以下で解説しているため，参照してください。
線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明まず，線形写像における像 (image)・核 (kernel) の定義を確認・図解します。そしてこの二つがベクトル空間になることを証明しましょう。mathlandscape.com3.の証明については，以下を参照してください。
線形写像が単射になる必要十分条件は核(Ker)が0になる証明今回のテーマは，いつ線形写像が全射・単射になるか，特に「いつ単射になるか」については非常に大事なので，これについて証明します。主張は以下の通り: 線形写像が単射になるのと，Ker f = {0} となるのは同値である。mathlandscape.com線形同型写像
線形写像が全単射のとき，逆写像も線形写像になります。これを線形同型 (linear isomorphism) といいます。これについては，以下で解説しています。
線形同型写像とベクトル空間の同型線形同型写像とは，全単射な線形写像を指します。このような写像が存在する2つのベクトル空間は同型であるといい，全く同じものとして扱うことが可能です。線形同型写像とベクトル空間の同型について，基本的なことをおさえましょう。mathlandscape.com