【3分で分かる！】順列と組み合わせの違いと公式をわかりやすく（練習問題つき）

はじめに：順列・組み合わせについて

確率は入試でも頻出の重要な分野。その中でも「順列と組み合わせ」はその中心になる内容です。

そこで今回は順列・組み合わせの基本的な考え方や計算方法を紹介します。

最後には順列と組み合わせの計算を身につけるための練習問題も用意しました。ぜひ最後まで読んで順列・組み合わせをマスターしてください！

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2022.03.29

順列と組み合わせの計算方法は記事の後半に回して、まずは順列と組み合わせとは何なのか、その2つの違いも含めて紹介します。

順列とは、いくつかのものを順序をつけて列に並べる並べ方の総数です。

組み合わせとは、いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を選び出すときの、組み合わせの種類の総数のことを指します。

「順列」も「組み合わせ」もいくつかのものの中からいくつか選ぶというのは共通しています。しかし、組み合わせは選んで終わりなのに対し、順列は選んだあとの順番も決める必要があります。

たとえば、赤・青・黒の3つのボールから2つ選ぶ選び方は組み合わせです。この場合、「赤と青」「赤と黒」「青と黒」の3通りだけです。

一方、赤・青・黒の3つのボールから2つ選んで並べる並べ方は順列です。この場合、「赤と青」と「青と赤」は別のものとしてカウントしなければいけません。「赤と青」「青と赤」「赤と黒」「黒と赤」「青と黒」「黒と青」の6通りあります。

一般的には、組み合わせよりも順列の方が多くなります。

順列・組み合わせのそれぞれの計算方法をみてみましょう。

たとえば、3個の玉から2個選んで並べる並べ方（順列）は、\(3×2=6\)（通り）です。

3個の玉から2個選ぶ選び方（組み合わせ）は、\(\frac{3×2}{2×1}=3\)（通り）になります。

なぜこの計算方法なのか？

まず、順列の例として3つの玉から2つ選んで並べる場合を考えます。このようになるからです。

また、これを樹形図にするとこうなります。

次に、3つの玉から2つ選ぶ組み合わせの場合。

上で示したように、2つ選んで並べると6通りです。2つのものを並べる並べ方は\({}_2 \mathrm{ P }_2=2×1=2\)（通り）あります。

つまり、順列の6通りは、それぞれの2つの玉の組に対し、2回ずつ重複して数えてしまっていることになります。よって\(6÷2=3\)（通り）となるのです。